1.2 Нормы. Числа обусловленности

Содержание семинара:

• Задачи вычислительной линейной алгебры

• Задача СЛАУ

  • Плохая обусловленность

• Векторные нормы

  • \(\ell_1\), \(\ell_2\) и \(\ell_\infty\) нормы

  • Теорема об эквивалентности норм

  • Единичный диск

• Матричные нормы. Свойства

  • Согласованность, субмультипликативность и подчиннёность

  • Лемма о подчинённой матричной норме

• Сингулярное разложение

• Матричные нормы. Примеры

  • Индуцированные нормы

  • Норма Фроббениуса

• Числа обусловленности

  • Число обусловленности системы при заданной правой части

  • Число обусловленности матрицы

  • Общая оценка погрешности системы при возмущённой матрице и правой части

  • Некоторые свойства числа обусловленности

• Вычисление чисел обусловленности в разных нормах

  • Общая формула для \(\ell_2\)

  • Оценка в нормах \(\ell_1\) и \(\ell_\infty\)

  • Пример применения

  • Геометрический смысл

• Домашнее задание