Домашнее задание

Содержание

Домашнее задание#

1. Локализация корней.#

Локализовать действительные корни в уравнении:

\[ f(x)=20 x^{3} - 4 x^{2} - 5 x + 1 . \]

2. Порядок сходимости итерационного метода.#

Определить порядок сходимости итерационного метода при вычислении квадратного корня \(x^* = \sqrt a\) :

\[ x_{n+1}=x_n - \frac{11x_n^4 - 4x_n^2 a + a^2}{16 x_n^5} (x_n^2 - a) \]

3. Оценка скорости сходимости метода Ньютона.#

Покажите, что для функции \(f(x)=|x|^{5 / 2}\) метод Ньютона сходится лишь c порядком сходимости 1 - т.е. невязка уменьшается пропорционально \(e^{-n}\).

Покажите аналитически, что метод Ньютона в лучшем (невырожденном) случае имеет квадратичную экспонциальную сходимость (или сходимость порядка 2), т.е. ошибка убывает пропорционально \(e^{-2n}\).

4. Зри в корень#

Отделить корни следующих уравнений, а затем уточнить один из них с помощью подходящего итерационно процесса (любых двух на ваш выбор двумя разными методами):

a) \((0.5)^x+1=(x-1)^2\),

b) \((x-3) \cos x=1, \quad-2 \pi \leq \mathrm{x} \leq 2 \pi\),

c) \(\operatorname{arctg}(x-1)+2 x=0\),

d) \(x^2-20 \sin x=0\)

e) \(2 \operatorname{tg} x-x / 2+1=0\),

f) \(2 \lg x-x / 2+1=0\),

g) \(x^2-e^x / 5=0\)

h) \(\ln x+(x-1)^3=0\),

i) \(x 2^x=1\)

j) \((x+1)^{0.5}=1 / x\).

5. Зри в корень дважды#

Вычислить с точностью \(\varepsilon=10^{-3}\) координаты точек пересечения кривых (любых двух на ваш выбор двумя разными методами):

a)

\[\begin{split} \left\{\begin{array}{l} \sin (x+1)-y=1.2 \\ 2 x+\cos (y)=2 \end{array}\right. \end{split}\]

б)

\[\begin{split} \left\{\begin{array}{l} \tan (x y+0.4)=x^2 \\ 0.6 x^2+2 y^2=1 \end{array}\right. \end{split}\]

в)

\[\begin{split} \left\{\begin{array}{l} \cos (x-1)+y=0.5 \\ x-\cos (y)=3 \end{array}\right. \end{split}\]

г)

\[\begin{split} \left\{\begin{array}{l} \sin (x+2)-y=1.5 \\ x+\cos (y-2)=0.5 \end{array}\right. \end{split}\]

6. Метод Ньютона и Гаусса-Ньютона*#

Решение проблемы многомерной линейной регрессии нормальным уравнением очень похоже на обобщение метода Ньютона на многомерный случай. Но это не так. Укажите, в чём различие между методами. В одномерном случае

\[ f(x) \approx f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x - x_0) = 0 \]

\[ x = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^{\prime}(x_0)} \]

Обобщение метода Ньютона на многомерный случай выглядит так.

\[ F(\vec{β}) \approx F(\vec{β^{(0)}}) + \sum\limits_{i=1}^n{\frac{∂F(\vec{β^{(0)}})}{∂β_i}(β_i - β^0_i)} = 0 \]

\[ F(\vec{β^{(0)}}) + \nabla F(\vec{β^{(0)}})\vec{p} = 0 \]

В случае поиска минимума функции F к нулю приравниваем частные производные F

\[ \frac{∂F(\vec{β})}{∂β_i} \approx \frac{∂F(\vec{β^{(0)}})}{∂β_i} + \sum\limits_{j=1}^n{\frac{∂^2F(\vec{β^{(0)}})}{∂β_i∂β_j}(β_i - β^0_i)} = 0 \]