Интегралы с особенностями

Для интегралов с особенностями, наши методы напрямую неприменимы - слишком большие числа при сложении с маленькими своей погрешностью уничтожат любыe надежды на хороший ответ. Нужно рассматривать такие случаи отдельно.

Несобственный интеграл с особенностью на конце отрезка

К примеру, такой интеграл

\[ \int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} d x \]

В этом случае можно выделить особенность в нуле при помощи простого преобразования

\[ \int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} d x=\int_0^1 \frac{f(x)-\varphi(x)}{\sqrt{x}} d x+\int_0^1 \frac{\varphi(x)}{\sqrt{x}} d x \]

где функция \(\varphi(x)\) выбирается так, чтобы первый интеграл в правой части не содержал особенности, а второй - вычислялся аналитически. Это справедливо, например, если в качестве \(\varphi(x)\) взять отрезок разложения функции \(f(x)\) в ряд Тейлора в точке \(x=0\). Тогда

\[ \int_0^1 \frac{f(x)-f(0)-x f^{\prime}(0)}{\sqrt{ x}} d x+f(0) \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} d x+f^{\prime}(0) \int_0^1 \sqrt{x} d x . \]

Аля перенормировка, только второе слагаемое не бесконечное :).

Пример. Для \(f(x)=\cos x\) вычисление интеграла выше сводится к вычислению

\[ \int_{0}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{x}} d x=\int_{0}^{1}(\cos x-1) x^{-1 / 2} d x+\int_{0}^{1} x^{-1 / 2} d x \]

Второе слагаемое справа равно 2, а первое можно вычислить с помощью, например формулы Симпсона, которая дает значение \(\approx 1,80905\)

Несобственный интеграл с внутренней особенностью

Если особая точка \(C \in[a, b]\), то используем простой приём, основанный на определении несобственного интеграла. Для этого интеграл представляют в виде:

\(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{C-\delta_{1}} f(x) d x+\int_{C+\delta_{2}}^{b} f(x) d x+\int_{C-\delta_{1}}^{C+\delta_{2}} f(x) d x\),

\[ \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{C-\delta_{1}} f(x) d x+\int_{C+\delta_{2}}^{b} f(x) d x+\int_{C-\delta_{1}}^{C+\delta_{2}} f(x) d x \]

причем \(\delta_{1}, \delta_{2}\) выбирают столь малыми, чтобы в пределах заданной точности интеграл \(\rho=\int_{C-\delta_{1}}^{C+\delta_{2}} f(x) d x\) не влиял бы на результат.

Если вычисляется сходящийся несобственный интеграл 1-го рода

\(\int_{a}^{\infty} f(x) d x\),

то для его приближенного вычисления используем равенство

\(\int_{a}^{\infty} f(x) d x=\int_{a}^{B} f(x) d x+\int_{B}^{\infty} f(x) d x .\)

Причем число \(B\) берут настолько большим, чтобы в пределах заданной точности интеграл \(\int_{B}^{\infty} f(x) d x\) не влиял бы на результат. Далее последний интеграл вычисляют по какой-либо квадратурной формуле с нужной точностью.

Интегралы от быстроосциллирующих функций

Проблемы интегралов быстроосциллирующих функций:

• Большое количество вычислительных затрат, т.к. шаг интегрирования должен быть много меньше периода

• Быстрое накопление ошибки аппроксимации из-за суммирования слагаемых с разными знаками (на разных полупериодах)

На практике, тут стараются всё свести к аналитическим вычислениям.

Пример. Рассмотрим вычисление интеграла

\[ \int_0^\pi f(x) \sin k x d x \]

где \(k\) - большое число, например, \(1000\). Аппроксимируем гладкую функцию \(f(x)\) другой гладкой функцией \(\varphi(x)\), для которой интеграл \(\int \varphi(x) \sin kx dx\) вычисляется аналитически. Тогда задача вычисления интеграла от \(f(x) \sin k x\) сводится к вычислению

\[ \int_0^\pi f(x) \sin k x=\int_0^\pi \varphi(x) \sin k x d x+\int_0^\pi[f(x)-\varphi(x)] \sin k x d x . \]

Если в качестве \(\varphi(x)\) взять аппроксимацию многочленами \(f(x)\) на всём отрезке, то второе слагаемое справа, как правило, мало и может быть оценено аналитически.