Жесткие системы

Какие системы дифференциальных уравнений можно считать «сложными? Для ответа на этот вопрос введём важное понятие жесткости системы.

Определение. Задачу Коши для системы ОДУ вида

\[ \frac{d \mathbf{u}}{d t}=\mathbf{f}(t, \mathbf{u}), \quad t>0, \quad \mathbf{u}(0)=\mathbf{u_0} , \quad \mathbf{u}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^N , \quad \mathbf{f} : \mathbb{R^{N+1}} \rightarrow \mathbb{R}^N \]

назовем жесткой, если для спектра \(\lambda_j \;\;(j=1, \ldots, N)\) матрицы Якоби

\[ \mathbf{J}=\frac{\partial \mathbf{f}(t, \mathbf{u})}{ \partial \mathbf{u}} \]

можно ввести числа \(\lambda_0, \; \Lambda_0 > 0: \; \; \lambda_0 \ll \Lambda_0\), относительно которых спектр разделяется на две части:

1. жесткий спектр (быстрозатухающий) \((j=1, \ldots, N_1 )\), для которого выполняется :

\[\operatorname{Re} \lambda_j(t, \mathbf{u}) \leqslant-\Lambda_0\]

\[\left|\operatorname{Im} \lambda_j(t, \mathbf{u})\right|<\left|\operatorname{Re} \lambda_j(t, \mathbf{u})\right|\]

2. мягкий спектр \((j=N_1+1, \ldots, N)\), для которого

\[ \left|\lambda_j(t, \mathbf{u})\right| \leqslant \lambda_0 \ll \Lambda_0 \]

Отношение \(\mathrm{S} = \Lambda_0 / \lambda_0\) называется показателем жесткости системы ОДУ. При этом обычно \(\lambda_0 \approx 1\), а величина \(\Lambda_0 \gg 1\) в приложениях часто бывает больше \(10^6\).

Такая проверка осуществляется в какой-либо точке, принадлежащей траектории системы. Конечно, существуют примеры, когда одна и та же система в разных точках своего фазового пространства может быть и жесткой, и нежесткой.

Иными словами, жесткость отвечает за разную скорость протекающих внутри системы процессов. Подробнее, компонента сответствующая жесткому спектру вынуждает выбирать мелкий шаг и, одновременно, быстро перестает влиять на решение из-за экспонциального затухания. Типичный пример графика решения жесткой системы:

ГРААААФИИИИИИИИИИИИИИИИИК

Можно ввести следующие классификацию систем по числу жесткости:

\[\begin{split} \begin{array}{|l|l|} \hline \text { Классификация } & \text { Число жесткости } \\ \hline \text { Умеренно жесткая } & \quad \quad \mathrm{S}\approx10 \\ \hline \text { Средне жесткая } & \quad \quad \mathrm{S}\approx10^2 \\ \hline \text { Сильно жесткая } & \quad 10^2 \lesssim \mathrm{S} \lesssim \mathrm10^5 \\ \hline \text { Экстремально жесткая } & \quad 10^6 \lesssim \mathrm{S} \lesssim \mathrm10^8 \\ \hline \text { Патологически жесткая } & \quad \quad \mathrm{S} \gtrsim 10^9 \\ \hline \end{array} \end{split}\]

Для жестких задач необходимо использование методов, позволяющих проводить расчет с шагами, определяемыми медленными, а не быстрыми процессами, при этом, естественно, численные методы должны быть устойчивыми.

Примечание. Практически для всех жестких систем явные методы не подходят в силу их неустойчивости при \(\operatorname{Re} z \ll -1\). Нужно использовать более сложные методы.

При разработке разностных схем для численного решения жестких сложных систем обыкновенных дифференциальных уравнений необходимо учитывать следующие требования:

• схема должна быть аппроксимирующей;

• схема должна обладать устойчивостью, например: \(A, A(\alpha)\), \(A(0), \alpha\)-устойчивостью;

• схему необходимо верифицировать на известных тестовых задачах.