Ctrl+K

Домашнее задание

Домашнее задание#

Задание 1.#

Решить краевую задачу:

\[\begin{split} \begin{aligned} &y^{\prime \prime}+(1-4 x) y^{\prime}+8 y=5, \quad 0<x<1 \\ &y^{\prime}(0)-y(0)=0 ; \quad y(1)=0 \end{aligned} \end{split}\]

Задание 2.#

Рассмотрим решение следующей граничной задачи

\[\begin{split} \begin{gathered} d^{2} y / d x^{2}=-y+x \cos x \\ \\ d y(0) / d x=3 y(0)+2, \quad d y(\pi / 2) / d x=-5 y(\pi / 2)+2 . \end{gathered} \end{split}\]

Известно точное решение этой задачи

\[ y=-0.73 \cos x-0.441 \sin x+(1 / 4)\left(x^{2} \sin x+x \cos x\right), \]

откуда

\[ y(\pi / 2)=0.175 \text { и } d y(\pi / 2) / d x=1.122 . \]

Найдите эти граничные значения, решая задачу методом дифференциальной прогонки.

Задание 3.#

Напишите программу, которая решает нелинейное уравнение Пуассона:

\[ \phi^{\prime \prime}(x)=e^{\phi(x)}-n(x), \quad \text { где } n(x)=1+e^{-3(x-5)^{2}} \]

в области \(0<=x<=10\) с граничными условиями \(\phi(0)=\phi(10)=0 .\)

Примечание. Пользоваться методом стрельбы, сходясь по Ньютону. Сколько итераций нужно, чтобы получить решение с 10-ю значащими цифрами?

Задание 4.#

Напишите программу, которая решает нелинейное уравнение Пуассона:

\[ \phi^{\prime \prime}(x)=e^{\phi(x)}-n(x), \quad \text { где } n(x)=1+e^{-3(x-5)^{2}} \]

в области \(0<=x<=10\) с граничными условиями \(\phi(0)=\phi(10)=0 .\)

Используйте метод Ньютона (не стрельбы!1!!). Сколько итераций нужно, чтобы получить решение с 10-ю значащими цифрами?

Задание 5.#

Методом Ньютона с использованием проекционного решения найти первые два приближения к решению краевой задачи.

Сравнить приближенное решение с точным. Оценить относительную погрешность решения.

На выбор можете взять любой проекционный метод, кроме разложения по синусам и косинусам в методе Галёркина.

Номер вашей задачи - это \((B \mod 12) + 1\), где B - номер первой буквы вашей фамилии в алфавите.

  1. \(-\ddot{x}=-\dot{x} /(1+t)+\dot{x}^2 / x, x(0)=2, x(1)=1\)

Точное решение: \(x^*(t)=\left[5-(1+t)^2\right]^{1 / 2}\).

  1. \(\ddot{x}=\left(\dot{x}^2+1\right)^{3 / 2}, x(0)=-1, x(1)=0\).

Точное решение: \(x^*(t)=-\left(1-t^2\right)^{1 / 2}\).

  1. \(\ddot{x}=x^3, \quad x(0)=\sqrt{2}, x(1)=1 / \sqrt{2}\).

Точное решение: \(x^*(t)=\sqrt{2} /(1+t)\).

  1. \(-\ddot{x}=-\left(\dot{x}^2+1\right) /\left(1+t^2\right), x(0)=0, x(1)=-1 / 2\).

Точное решение: \(x^*(t)=-t^2 / 2\).

  1. \(-\ddot{x}+10 t^{-5} x^2=4 t, x(1)=1, x(2)=8\).

Точное решение: \(x^*(t)=t^3\).

  1. \(-\ddot{x}+2 t^{-10} x^3=-10 t^2, x(1)=1, x(2)=32\).

Точное решение: \(x^*(t)=t^4\).

  1. \(\ddot{x}=-4 x^{-3}, x(0)=2, x(1)=\sqrt{3}\).

Точное решение: \(x^*(t)=\sqrt{4-t^2}\).

  1. \(\ddot{x}=2 x^3, x(0)=1 / 2, x(1)=1 / 3\).

Точное решение: \(x^*(t)=1 /(2+t)\).

  1. \(\ddot{x}=-25 x^{-3}, x(0)=4, x(1)=3\).

Точное решение: \(x^*(t)=\sqrt{25-(3+t)^2}\).

  1. \(-\ddot{x}=x^3-3 t^2 x^5, x(2)=1 / \sqrt{3}, x(3)=1 / \sqrt{8}\).

Точное решение: \(x^*(t)=1 / \sqrt{t^2-1}\)

  1. \(\ddot{x}=12 t x^2, x(1)=1, x(2)=1 / 8\).

Точное решение: \(x^*(t)=t^{-3}\).

  1. \(\ddot{x}=20 t^2 x^2, x(1)=1, x(2)=1 / 16\).

Точное решение: \(x^*(t)=t^{-4}\).

Содержание