Формулировка УРЧП. Классификация

Определение. Линейное УРЧП от двух переменных это уравнение вида

\[ A(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+B(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+C(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+D(x, y) \frac{\partial u}{\partial x}+E(x, y) \frac{\partial u}{\partial y}+F(x, y) u+G(x, y)=0 \]

что эквивалентно следующей записи

\[ A(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+B(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+C(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\hat{\mathbf{L}} u \]

Цель - найти \(u(x,y)\) с заданными граничными условиями.

Примечание. Если бы какие-то из коэффициентов зависели бы ещё дополнительно от \(u\), \(\frac{\partial u}{\partial x}\) или \(\frac{\partial u}{\partial y}\), то уравнение называлось бы квазилинейным.

Относительно \(A(x, y), B(x, y)\) и \(C(x, y)\) можно подвести следующую классификацию УРЧП:

\[\begin{split} \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text { Classification } & \text { Condition } & \text { Example of PDE } \\ \hline \text { Parabolic } & B^2-4 A C=0 & \text { Heat equation } \\ \hline \text { Hyperbolic } & B^2-4 A C>0 & \text { Wave equation } \\ \hline \text { Elliptic } & B^2-4 A C<0 & \text { Laplace equation } \\ \hline \begin{array}{c} \text { Mix Type } \\ \text { (parabolic/hyperbolic/elliptic) } \end{array} & \begin{array}{c} \text { Satisfied all/more than one of the } \\ \text { above conditions } \end{array} & \begin{array}{c} \text { Heat/Wave/Laplace/Poisson } \\ \text { equation } \end{array} \\ \hline \end{array} \end{split}\]

Примечание. Классификация локальна, т.к. коэффициенты зависят от точки плоскости в которой мы сейчас находимся, и знак Condition может меняться в рассматриваемой области - отсюда и смешанный тип.

Примечание. Названия типов формально берутся от квадратичной формы характеристического уравнения. Все типа существенно различаются по свойствам, что приводит к их отдельному рассмотрению. В частности, решения эллиптического уравнения всегда гладкие, тогда как решения гиперболических уравнений этим свойством не обладают.

Примечание. В случае бОльшего числа переменных, типы сохраняются:

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i, j} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \; + \; F(u,\; \frac{\partial u}{\partial x_1},\; \frac{\partial u}{\partial x_2}, \cdots, \; \frac{\partial u}{\partial x_n})=0\]

• Elliptic: Все собственные значения \(a_{i,j}\) имеют одинаковый знак. [Laplace-Eq.]

• Parabolic: Одно из собственных значений зануляется. [Diffusion-Eq.]

• Hyperbolic: Одно собственное значение имеет другой знак. [Wave-Eq.]

• Ultrahyperbolic: Более чем одно собственное значение имеют другой знак относительно других.

• Mixed

Примечание. Отличия могут показаться несущественными, но на практике они столь велики, что решения каждого типа считается отдельной областью. В этом семинаре рассмотрим подробнее параболический тип.