Задание краевых условий на криволинейной границе

Для простоты рассмотрим двумерный случай с произвольной границей, заданной уравнением

\[ \varphi(x, y) = 0 \]

Граничное условие на производную вдоль нормали можно следующим образом задать:

\[\begin{split} \begin{gathered} \frac{\partial \varphi}{\partial \vec{n}}=0 \\ \frac{\partial \varphi}{\partial \vec{n}}=(\operatorname{grad\varphi }, \vec{n}) \\ \vec{n}=\frac{\left(x-x_0, y-y_0\right)}{\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2}} \\ \operatorname{grad\varphi }=\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}\right) \\ \frac{\partial \varphi}{\partial x} \simeq\left(\varphi_{i+1, j}-\varphi_{i, j}\right) \frac{1}{\Delta x} \\ \frac{\partial \varphi}{\partial y} \approx\left(\varphi_{i, j+1}-\varphi_{i, j}\right) \cdot \frac{1}{\Delta y} \end{gathered} \end{split}\]

Отсюда применительно к нашей задаче на кривой границе будем писать:

\[\begin{split} \begin{aligned} & \left(u_{i, j}-u_{i+1, j}\right) / h * n_x+\left(u_{i, j}-u_{i, j+1}\right) / h * n_y=0 \\ & u_{i, j}=u_{i+1, j} \cdot n_x+u_{i, j+1} \cdot n_y \end{aligned} \end{split}\]

Граничными точками будем называть такие, для которых внутри рассматриваемой области нет хотя бы одной из 4 соседних. Например, для точки (i, j) соседними будем называть точки (i+1, j), (i, j+1), (i-1, j), (i, j-1).