Домашнее задание

Задача 1.

Исследовать на аппроксимацию и устойчивость разностную схему

\[\begin{split} \begin{aligned} & \frac{y_k^{n+1}-y_k^n}{\tau}+\frac{a}{2}\left[\frac{y_{k+1}^{n+1}-y_{k-1}^{n+1}}{2 h}+\frac{y_{k+1}^n-y_{k-1}^n}{2 h}\right]=\frac{1}{2}\left(f_k^{n+1}+f_k^n\right), \\ & y_k^0=\varphi\left(x_k\right) \quad k=0, \pm 1, \ldots, n=0,1,2, \ldots \end{aligned} \end{split}\]

для задачи

\[u_t+a u_x=f(t, x) \quad u(0, x)=\varphi(x) \quad t \geq 0 \quad -\infty<x<\infty\]

Решите численно задачу.

Задача 2.

Построить две разностные схемы для задачи c разными шаблонами $\( \frac{\partial u}{\partial t}-a^2(x, t) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0, \quad u(x, 0)=\psi(x), \)$ Спектральным признаком исследовать полученные схемы на устойчивость, используя принцип замороженных коэффициентов.

Задача 3.

Получите с помощью схемы переменных направлений решение двумерной задачи нестационарной теплопроводности в квадрате при следующих начальных и краевых условиях:

\[\begin{split} \begin{aligned} & u_t=u_{x x}+u_{y y}+f(x, y, t), \quad 0 \leq x \leq 1, \;0 \leq y \leq 1, \;0<t, \\ \\ & f(x, y, t)=2 \pi^2 \sin (\pi x) \sin (\pi y), \\ & u(0, y, t)=0, \;u(1, y, t)=0, \; u(x, 0, t)=0,\; u(x, 1, t)=0, \;0<t, \\ & u(x, y, 0)=0, \; 0 \leq x \leq 1, \;0 \leq y \leq 1 . \end{aligned} \end{split}\]

Проверьте, что точным решением дифференциальной задачи является \(u(x, y, t)=\left(1-\exp \left(-\pi^2 t\right)\right) \sin (\pi x) \sin (\pi y)\). Сгущением сеток и сравнением с сеточной проекцией точного решения покажите, что схема имеет второй порядок сходимости по всем переменным (т.е. проверить порядок аппроксимации экспериментально).

Задача 4.

Построить разностную схему для решения задачи

\[ \frac{\partial}{\partial x} \left(u \frac{\partial u}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y} \left( u \frac{\partial u}{\partial y}\right)=0 \]

в прямоугольной области \(0 \leq x \leq X, 0 \leq y \leq Y\) с граничными условиями

\[ u(0, y)=1, \quad u(x, Y)=1+x^2, \quad u(X, y)=1+X^2 y / Y, \quad u(x, 0)=1 \]

Какой порядок аппроксимации у данной численной схемы? Является ли это уравнение линейным? Решите задачу.

Задача 5.**

Требуется решить двумерное уравнение Пуассона: \(u_{x x}+u_{y y}=f(x, y)\), на многосвязной области интегрирования с нулевым начальным приближением и различными граничными условиями первого или второго типа. Граница может быть произвольно заданной замкнутой кривой без самопересечений.

Эта задача с двумя звёздочками - вполне можно за неё одну дать БРСов как за всё задание.