Домашнее задание

Задание 1. Закон всемирного тяготения

Используем метод для вычисления силы взаимного притяжения Луны и Земли. Для простоты предположим, что плотности Земли и Луны не зависят от координат и возьмем их средние значения. Для проведения численного эксперимента нам понадобятся следующие физические величины:

\[\begin{split} \begin{aligned} & G=6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\mathrm{H} \cdot \mathrm{м}^2}{\text { кг }}-\text { гравитационная постоянная; } \\ & m_1=6 \cdot 10^{24} \mathrm{ кг }-\text { масса Земли; } \\ & m_2=7.35 \cdot 10^{22} \text { кг }-\text { масса Луны; } \\ & r=384467000 \mathrm{ м}-\text { pacстояние между Луной и Землей; } \\ & \rho_1=5520 \frac{\mathrm{ кг }}{\mathrm{м}^3}-\text { средняя плотность Земли; } \\ & \rho_2=3346 \frac{\mathrm{кг}}{\mathrm{м}^3}-\text { средняя плотность Луны; } \\ & R_1=6367000 \mathrm{м}-\text { радиус Земли; } \\ & R_2=1737000 \mathrm{м}-\text { радиус Луны. } \end{aligned} \end{split}\]

Поскольку тела сферические со сферически симметричной функцией плотности (константой), то объекты можно рассматривать как точечные и вычислить их силу притяжения по формуле:

\[ F=G \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}, \]

где \(m_1\) и \(m_2\) массы точечных объектов. Это значение будем использовать для сравнения с результатами вычислений с помощью метода Монте-Карло. По формуле находим значение силы

\[ F=1.98997 \cdot 10^{20} \mathrm{H} . \]

Результаты вычислений этой силы с помощью метода Монте-Карло и аналитически сравнить между собой. Построить график зависимости ошибки от числа итераций в логарифмическом масштабе , сделать вывод об асимптотике ошибки.

Задание 2. Закон всемирного тяготения

Пусть на однородную пластинку бесконечной площади толщиной \(\mathrm{h}\) нормально падает поток нейтронов с энергией \(\mathrm{E}_0\). При столкновении с атомами вещества, из которого состоит пластинка, нейтроны могут: а) упруго рассеиваться; б) поглощаться. Пусть при упругом рассеянии: энергия не меняется; равновероятно любое направление рассеяния. Сечения поглощения и сечения рассеяния нейтронов считать известными. Требуется вычислить:

• вероятность прохождения нейтрона сквозь пластинку \(Р+\),

• вероятность отражения нейтронов от пластинки \(Р-\)

• вероятность поглощения нейтрона в пластинке \(Р_О\).

Задание 3. Случайное блуждание

Рассмотрим одномерное случайное блуждание, где на каждом шаге с вероятностью \(1 / 2\) точка движется влево или вправо на единицу длины. Чему равно математическое ожидание расстояния точки от нуля после \(T\) шагов?

Вычислите аналитически, затем промоделируйте численно.

Проанализируйте погрешность (нарисовать график и гистограмму).

Задание 4. Семплирование по Гиббсу

Семплируйте по Гиббсу сумму двух гауссианов из разобранного примера на алгоритм Метрополиса-Хастингса.

Задание 5. Алгоритм Метрополиса-Хастингса - генерация выборок

Сгенерируйте выборку из функции плотности \(\pi(x) \sim \exp \left(-x^2\right)\left(3+\cos (x)+2 \sin (x)+x^2\right)\) применив алгоритм Метрополиса-Хастингса к случайному блужданию \(x_{t+1}=x_t+\varepsilon_t\) где \(\varepsilon_t \sim N(0,1)\).